저도 MySQL 깔고 실행이 안되서 루트패스워드도 변경못했었는데요..
한참 고생했었습니다... 알고나니 trivial solution 이었지만..
 소켓이 만들어지는 path 에 퍼미션이 어떻게 되어있나 확인해보세요
mysql 을 구동하는 유저에게 그 디렉토리에 쓰기 권한이 있는지..
그게 문제가 없다면..
 mysql 그룹에 속한 mysql 유저가 MySQL 데이타베이스를 구동한다고 가정하고
 mysql 설치 디렉토리 전체를 일단
chown -R root.mysql /path/to/mysql
명령으로 소유자.소유그룹을 변경해주시고
그다음 mysql 디렉토리로 들어가셔서
cd /path/to/mysql
 chown -R mysql bin data 명령으로
/path/to/mysql/bin 과 /path/to/mysql/data 디렉토리의 소유관계를
mysql.mysql 이 온통 소유하도록 해주면 됐습니다. 저의 경우에는...
  : 현재 퇴근도 못하고 이러고 있습니다.
: IDC에 서버가 있는관계로...어찌할 수가 없습니다.
: 에러문은 다음과 같습니다.
:
:
: 020105 00:58:13  mysqld started
: 020105  0:58:13  Can't start server : Bind on unix socket: Permission denied
: 020105  0:58:13  Do you already have another mysqld server running on socket: /var/run/mysql.sock ?
: 020105  0:58:13  Aborting
:
: 020105  0:58:13  /usr/local/mysql/libexec/mysqld: Shutdown Complete
:
: 020105 00:58:13  mysqld ended
:
:
: 무엇이 문제인지를 모르겠습니다.
: mysql 이라는 그룹,사용자까지 모두 추가하였습니다.
: mysql버젼은 3.23.42 입니다.
: 부족하시더라도 겪으셨던 일이시라면 답변 부탁드립니다.